RETOMADA MATEMÁTICA – CÍRCULO E
QUADRADO
Para calcular a área de um
círculo, vemos saber o seu raio.
O diâmetro de um círculo equivale
à dois raios, então dividindo o diâmetro por dois descobrimos o raio.
A = π x r2
Para calcular a sua
circunferência também devemos saber o seu raio.
C = 2 x π x r
Analisando as fórmulas,
observamos que para a área o raio é ao quadrado, logo a área depende ao
quadrado do raio, o que ocorre com o raio ocorre ao quadrado com a área.
Já para a circunferência, podemos
ver que a fórmula apresenta apenas o raio, então, o que ocorre com o raio
acontece igual com a circunferência.
Ex1: Calcule a área e a
circunferência de um círculo que apresenta raio total de 2 cm.
R: para calcular a área é só aplicar a fórmula.
A = π x r2
A = π x 22
A = 4 x π cm2
Em alguns casos o π não aparece
na resposta, então devemos roçar por 3,14 ou 3, como indicado na questão,
geralmente o ENEM pede para trocar por 3.
Para calcular a circunferência devemos utilizar a fórmula.
C = 2 x π x r
C = 2 x π x 2
C = 4π cm.
Caso seja dada a área ou a
circunferência, devemos utilizar a fórmula para descobrir o raio.
Ex2: Qual o raio de uma
circunferência que apresenta área de 27 cm2? substitua π por 3.
R: vamos na fórmula e deixar o
raio como dúvida.
A = π x r2
27 = 3 x r2
27 / 3 = r2
9 = r2
√9 = r
3 cm = r.
Ex3: Qual o raio de um círculo
que apresenta uma circunferência de 24 cm? utiliza π = 3.
R: vamos aplicar a fórmula, C = 2 x π x r e deixar o raio como dúvida.
C = 2 x π x r
24 = 2 x 3 x r
24 = 6 x r
24 / 6 = r
4 cm = r
Ex4: Qual a área de um círculo
que apresenta circunferência de 10πcm?
R: como a resposta continua com π, vamos utilizar a letra π na conta.
Primeiro devemos descobrir o r com a circunferência para depois fazer a
área.
C = 2 x π x r
10
π = 2 π x r
10 π / 2 π = r
5 cm = r
Agora é só aplicar na fórmula da área.
A = π x r2
A = π x 52
A = 25 π cm2
Se for dada a diagonal, devemos dividi-la
por 2 para depois descobrir o raio e depois aplicar nas fórmulas.
EXERCÍCIOS:
1. Calcule
a área de um círculo que apresenta raio de 2 cm.
2. Calcule
a área de um círculo que apresenta raio de 8 cm
3. Calcule
a área de um círculo que apresenta um raio de √4 cm.
4. Calcule
a área de um círculo que apresenta um raio de √5 cm.
5. Calcule
a área de um círculo que apresenta uma diagonal de 4 cm.
6. Calcule
a área de um círculo que apresenta uma diagonal de 10 cm.
7. Calcule
o raio de um círculo que apresenta uma área de 4 π cm2.
8. Calcule
o raio de um círculo que apresenta uma área de 16 π cm2.
9. Calcule
o raio de um círculo que apresenta uma área de 25π / 16 cm2.
10. Calcule
o diâmetro de um círculo que apresenta uma área de 9 π cm2.
11. Calcule
a circunferência de um círculo que apresenta um raio de 2 cm.
12. Calcule
a circunferência de um círculo que apresenta um raio de 5 cm.
13. Calcule
a circunferência de um círculo que apresenta um diâmetro de 10 cm.
14. Calcule
a circunferência de um círculo que apresenta um diâmetro de 8 cm.
15. Calcule
a circunferência de um círculo que apresenta uma área de 25 π cm2.
16. Calcule
a circunferência de um círculo que apresenta uma área de 4 π cm2.
17. O
que ocorre com a área de um círculo que teve o seu raio dobrado.
18. O
que ocorre com a área de um círculo que teve o seu raio dividido pela metade.
19. O
que ocorre com a circunferência de um círculo que teve o seu raio
quadruplicado?
20. O
que ocorre com a circunferência de um círculo que teve o seu raio dividido pela
metade?
RESPOSTA
1.
4 π cm2.
2.
64 π cm2
3.
4 π cm2.
4.
5 π cm2.
5.
4 π cm2.
6.
25 π cm2.
7.
2 cm.
8.
4 cm.
9.
5π / 4 cm.
10.
6 cm.
11.
4 π cm.
12.
10 π cm.
13.
10 π cm.
14.
8 π cm.
15.
10 π cm.
16.
4 π cm.
MISTURANDO CÍRCULO E QUADRADO
Antes de começar as explicações,
temos que lembrar o que é inscrito e circunscrito. Inscrito quer dizer que está
dentro, exemplo: um quadrado está inscrito em um círculo, quer dizer que o
quadrado está dentro do círculo. Circunscrito que dizer que está por fora,
exemplo: um quadrado está circunscrito a um círculo, quer dizer que o quadrado
está por fora do círculo.
Quando um círculo for inscrito a
um quadrado devemos notar que o lado do quadrado é o diâmetro do círculo.
Ex5: Qual a área de um círculo
que está inscrito em um quadrado de lado 6 cm?
R: lembrando do desenho anterior, mas se eu fosse você, faria o desenho
novamente.
Como o raio é a metade do diâmetro, devemos dividir o diâmetro por 2
para descobrir o raio.
Bom, agora é só aplicar a fórmula do círculo
A = π x r2
A = π x 32
A = 9π cm2
Ex6: Qual a área de um círculo
inscrito em um quadrado de perímetro de 16 cm?
R: Nesta questão o círculo está dentro do quadrado.
vamos lembrar que perímetro é P = 4 ℓ, então vamos resolver para
descobrir o lado.
16 = 4 x ℓ
16 / 4 = ℓ
4 = ℓ
Agora é só aplicar na fórmula da área de círculo, mas devemos lembrar
que o lado do quadrado equivale ao diâmetro, e que para calcular a área devemos
ter o raio, então vamos dividir o diâmetro por dois para obter o raio.
4 / 2 = 2 cm de raio.
Agora vamos calcular a área.
A = π x r2
A = π x 22
A = 4 π cm2
Ex7: Qual a área de um círculo
inscrito em um quadrado de diagonal 2√2 cm?
R: Nesta questão o círculo está dentro do quadrado.
Puxa vida, logo diagonal para calcular. Não te preocupe, é barbada, só
aplicar na fórmula de diagonal de quadrado para descobrir o lado
d = ℓ √2
2√2 = ℓ √2
2 = ℓ
Sabendo que o raio é meio lado, r = 2 / 2 = 1 cm
A = π x r2
A = π x 12
A = π cm2
Ex8: Qual a área de um quadrado
que está circunscrito a um círculo, que este, o círculo, apresenta
circunferência de 8 π cm?
R: Nesta questão o quadrado está por volta do círculo.
Primeiro vamos descobrir o raio do círculo para posteriormente
descobrir o lado do quadrado, pois o raio do círculo é a metade do lado do
quadrado.
C = 2 x π x r
8
π = 2 x π x r
8 = 2 x r
8 / 2 = r
4 cm = r
Sendo o raio 4, o diâmetro vale 8 e o lado do quadrado também vale 8
cm.
A = ℓ2
A = 82
A = 64 cm2
Ex9: Qual a área de um quadrado
que está circunscrito a um círculo de área 25 π cm2?
R: Nesta questão a quadrado está por fora do círculo.
Vamos descobrir o raio do círculo e depois achar o lado do quadrado
para que no final possamos resolver a área do quadrado.
A
= π x r2
25 π = π r2
25 = r2
√25 = r
5 cm = r
Como vimos anteriormente, o raio é a metade do diâmetro que é igual ao
lado do quadrado, logo se o raio é 5, o lado do quadrado vale 10 cm.
Agora é só calcular a área do quadrado.
A = ℓ2
A = 102
A = 100 cm2
Quando o círculo for circunscrito
a um quadrado.
Notamos que a diagonal do círculo
é o dobro do raio do circulo.
Ex10: Qual a área de um círculo
que está circunscrito a um quadrado de lado 20 cm?
R: Nesta questão o círculo está dentro do quadrado.
Para descobrirmos a área do círculo teremos que descobrir primeiro a
diagonal do quadrado e depois dividir por dois para obter o raio do círculo.
d = ℓ√2
d = 20 √2
d = 2 r
Substituindo a diagonal por 20√2 descobriremos o raio.
20√2 = 2 r
20√2 / 2 = r
10√2 = r
Agora vamos aplicar na fórmula da área do círculo.
A = π x r2
A = π x (10√2)2 , vamos para um pouco para resolver está
situação, o 2 irá elevar o 10 virando 100 e a √ será cortada com o 2,
sobrando o 2
A = π x 100 x 2
A = 200 π cm2
Ex11: Qual a área de um quadrado que
está inscrito em um círculo de área 16 π cm2?
R: o quadrado está dentro do círculo, então a sua diagonal equivale ao
diâmetro do círculo.
Para descobrir a área do quadrado devemos achar o seu lado, que pode
ser descoberto pela diagonal, que por sua vez pode ser descoberta pelo
diâmetro, que será descoberto pela área do círculo.
Área do círculo à raio do círculo à
diâmetro à diagonal do quadrado à
lado do quadrado à área do quadrado.
Se o raio do círculo é 4 cm, o seu diâmetro é de 8 cm, logo a diagonal
do quadrado também vale 8 cm. Agora é colocar o 8 na diagonal e descobriremos o
lado.
Agora vamos utilizar o lado para descobrir a área do quadrado.
Exercícios
1.
Qual a área e a circunferência de um círculo que
está inscrito em um quadrado de lado 4 cm?
2. Qual
a área e a circunferência de um círculo que está inscrito em um quadrado de
área 36 cm2?
3. Qual
a área e a circunferência de um círculo que está inscrito em um quadrado de
diagonal 3 √2?
4. Qual
a área de um quadrado que está inscrito em um círculo de área 4π cm2?
5. Qual
a diagonal de um quadrado que está inscrito em um círculo de circunferência de
8 π cm?
6. Qual
o lado de um quadrado que está inscrito a um círculo de diâmetro 6 cm?
7. Um
tecido que custa R$ 5,00 cada m2 será usado para fazer uma toalha de
mesa circular com raio de 3 m. O tecido vem no formato retangular ou quadrado.
Se a pessoa que for fazer a toalha tentar desperdiçar o mínimo possível, qual a
área de tecido que deve comprar e qual o valor do tecido desperdiçado depois de
fazer a toalha? Considere π = 3
8. Uma
peça vem da fábrica com um formato quadrado de área 64 cm2. Desta
peça são feitas outras peças de formato de um quarto de volta, conforme
indicado abaixo.
Sabendo que cada cm2
de chapa apresenta massa de 5 g, qual a massa de metal desperdiçado se forem
confeccionadas 1000 peças? Utiliza π = 3
9. O
Japão é um país com fama de não desperdiçar nada, se uma fábrica produzir peças
para máquinas na forma circular a partir de peças de forma quadrada de lado 10
cm, as sobras poderiam ser aproveitadas para fabricar outras peças de forma
circular se elas forem fundidas e feita novamente outra peça quadrada. Qual
seria a área do novo círculo feito com a peça quadrada dos restos da primeira
peça? Considere π = 3.
10. Calcule
a área sombreada da peça abaixo sabendo que a circunferência do círculo
equivale a 10 π. Considere π = 3.
11. Um
desenho é feito a partir de um quadrado conforme o desenho abaixo.
Qual a razão entre o lado do
quadrado externo e do quadrado interno.
GABARITO
1 - A = 4 π cm2, C =
4 π cm
2 - A = 9 π cm2, C =
6 π cm
3 - A = 9 π cm2, C =
6 π cm
4 - A = 8 cm2
5 - D = 8 cm
6 - ℓ = 3 √2 cm
7 - A tecido = 36 m²; A
desperdiçada = 9 m²
8 - 800 kg
9 – 18,75 cm2
10 – 62,5 cm2
11 - √2
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