RETOMADA DE GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA
Quando temos dois pontos, podemos formar uma reta. Um ponto
é representado por dois números (x, y).
A reta pode ser constante, com inclinação positiva e
inclinação negativa.
A equação da reta é composta por
Onde f(x)é o resultado da equação, sendo o valor de
Y.
a é a
inclinação da reta, se ele for positivo a reta é crescente e se for negativo a
reta é decrescente. Se ele for zero a reta fica na horizontal.
Ele também informa a variação de y para cada x.
b é o valor do termo independente, onde a reta
cruza o eixo das ordenadas (y). Se ele não existir (zero) a reta cruza o eixo
das ordenadas na origem, ponto 0, 0.
Como montar um
gráfico a partir de uma equação de reta.
Vamos analisar a reta
f(x) = 2x – 4
Primeiro vamos notar
que a reta cruza o eixo y no ponto -4
Depois podemos
colocar zero no lugar de y para descobrir o valor de x
0 = 2x – 4, agora
vamos isolar o x, então passaremos o -4 para o outro lado, mudando o seu sinal.
4 = 2x, para isolar
realmente o x, temos que passar o dois para o outro lado dividindo o 4
4 / 2 = x
x = 2, logo a reta
cruza o eixo x no ponto 2
Agora é só traçar a
reta entre os dois pontos.
Mas se nós estivermos com um gráfico na mão, como descobrir
a reta?
Vamos ver, olhe o gráfico abaixo.
Uma forma de descobrir a equação da reta é descobrir o valor
de b, sabendo que ele vale o ponto onde a reta cruza o eixo y.
Olhando o gráfico vemos que b é igual a 5.
Montando a reta que temos por enquanto => y = ax + 5,
também conseguimos ver que a reta está inclinada para baixo, então a tem o
sinal negativo.
Agora temos que verificar o valor de a, para isso temos que
pegar um ponto em que x não seja zero e trocar na fórmula.
Vamos pegar o ponto (2, 1) e trocar na equação y = ax + 5
- 1 = a2 + 5
- 1 - 5 = 2a
-6 = 2a
-6 / 2 = a
a = -3
Então a equação da reta vale y = -3 x + 5
Podemos descobrir o valor de a de outras duas formas:
1º- dividindo a variação de y pela variação de x, para isso
vamos ver os dois pontos do gráfico, (0, 5) e (2, -1)
Então podemos fazer a variação de y = (ya – yb)
= (5 - -1) = 6; agora a variação de x (xa – xb) = (0 – 2) = -2.
Agora dividimos a variação de y pela variação de x, 6 / -2 =
-3
Outra forma de descobrir o valor de a é vermos quantos
valores de y variam para cada valor de x.
Podemos ver que quando pulamos 1 no x, em y pulam 3, de 5
para 2, e ainda para baixo, logo a seria negativo. Lógica, para cada 1 x,
pulamos -3 y, portanto a = -3, bem mais fácil de ver.
Vamos ver algumas formas que os gráficos de reta podem
aparecer.
Ex 1:
Neste caso temos uma reta com uma inclinação positiva (a =
1, como assim, o valor de a está na frente de x, como na frente de x não
aparece nenhum valor, ele vale 1!).
Não temos o termo
independente (b), logo a reta cruza no ponto de origem (0, 0).
O valor que for dado para x será o valor resultante de y.
Quando x for 1 y será 1 e assim por diante.
Ex 2:
Neste caso, não temos o valor de a, então a reta não tem
inclinação, só temos o valor de b, onde a reta cruza o eixo y.
Então não interessa o valor de x que for dado, a reta sempre
será em 2.
Ex 3:
Agora a reta apresenta a = 1 e b = 3, sendo que isto
representa que a reta apresenta uma inclinação positiva e para cada 1x que
varia também varia 1 y.
O valor de b representa o ponto em que a reta cruza y, sendo
o ponto b.
Ex 4:
Neste caso a reta apresenta a = 1 e b = -3, isto quer dizer
que a reta apresenta uma inclinação positiva, com uma variação de 1 x para 1 y
e passa pelo ponto -3 em y.
Ex 5:
Neste caso a reta tem uma inclinação negativa e para cada 1
x ela apresenta uma variação de 2 y. A reta cruza no ponto 5 no eixo y.
COMO DESCOBRIR A EQUAÇÃO DA RETA A PARTIR DE DOIS PONTOS
Primeiro devemos saber como é a equação geral da reta.
O valor de a pode ser descoberto pela fórmula:
Δy é a variação de y e Δx é a variação de x.
Então
Com está fórmula descobrimos o valor de a e depois
resolvemos o valor de b
Ex1: Qual é a equação da reta que passa pelos pontos A (1,
4) e B (-3, 2)
Primeiro devemos
descobrir o valor de a
a = 4 - 2
= 2 = 1/2
1 - (-3) 4
Já
sabemos que a = 0,5, agora jogamos este valor na equação
f(x)
= ax + b (vamos lembrar que f(x) é o y
y
= ax + b
y
= 0,5x + b
Agora
é só jogar um dos pontos em y e x para descobrir o valor de b, eu pegaria o
ponto A que só tem valores positivos.
4
= 1 . 0,5 + b
4
= 0,5 + b
4
- 0,5 = b
3,5
= b
Então
a equação da reta é f(x) = 0,5x + 3,5
Agora vamos a alguns exercícios:
1.
A partir dos gráficos abaixo descubra a função
de cada um.
2.
Com os pontos abaixo, descubra a equação da
reta.
a)
A (0, 2) e B (-3, 4).
b)
A (3, -2) e B (2, 6).
c)
A (-1, 5) e B (2, -4).
d)
A (3, -4) e B (-3, 4).
e)
A (-2, -2) e B (2, 2).
f)
A (4, -2) e B (-6, 3).
GABARITO
1.
a) f(x) = 0,5x + 2
b) f(x) = - x
c) f(x) = 2
d) f(x) = x
e) f(x) = 3/5x
f) f(x) = 7/12x + 1,5
2.
a) f(x) = -2/3x + 2
b) f(x) = -8x + 22
c) f(x) = -3x + 2
d) f(x) = 4/3x + 8
e) f(x) = x
f) f(x) = -0,5x
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