Retomada de equações exponenciais com gráficos e exercícios

RETOMADA DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

São equações que apresentam a variável (geralmente x) no expoente.

Formas que pode aparecer:

f(x) = a^x

Neste caso o gráfico é uma crescente e sempre que o x apresentar uma valor de zero, a ordenada (y) será igual a 1.

Ex 1:

Vamos analisar o gráfico abaixo e encontrar a equação que o representa.

Para podermos encontrar a equação que representa o gráfico devemos ter dois pontos e analisar que tipo de gráfico estamos observando.

Neste caso, quando x = 0 o valor de y = 1, então é um gráfico do tipo f (x) = a^x, com o outro ponto vamos descobrir o valor de a substituindo x e y na equação. O outro ponto será (1, 3).

Lembrando que f (x) é o valor de y, vamos lá.

f (x) = a^x

3 = a¹

3 = a

Então f(x) = 3^x

Ex2: Qual o gráfico da função f(x) = 2^x

Primeiro vamos analisar o tipo de gráfico que será formado, ele deve ser crescente e passar em y por 1.

Para descobrir que o gráfico passa por 1 em y devemos colocar zero no x.

f(x) = 2⁰ = 1.

Agora vamos colocar outro ponto em x para descobrir onde passa em y.

f(x) = 2¹ = 2.

Então, quando x vale 1 o y vale 2

Agora vamos dar um número negativo para x, como -1.

f(x) = 2^-1

f(x) = ½ = 0,5

Vamos dar outro número positivo para x, como 2

f(x) = 2²

f(x) = 4

Agora vamos montar o gráfico.

Agora vamos analisar equações como f(x) =( ½)^x

Neste caso o gráfico será decrescente, pois é uma fração elevada a um expoente.

Ex 3: Qual o gráfico da função f(x) = (1/3)^x

Inicialmente vamos verificar onde a função cruza em y.

Para verificar devemos colocar x = 0

f(x) = (1/3)⁰

f(x) = 1

Vamos lembrar que quando o expoente for negativo devemos inverter o número.

Agora vamos colocar valores em x positivos e negativos.

f(x) = (1/3)^-2 = 3² = 9

f(x) = (1/3)^-1 = 3¹ = 3

f(x) = (1/3)¹ = 1/3

f(x) = (1/3)² = 1/9

Agora vamos colocar os pontos no gráfico.

Ex 4: Qual o gráfico da função f(x) = 2^-x

O gráfico desta função será igual da função f(x) = (1/2)^x, logo será parecido com o gráfico da questão anterior.

Ex 5: Qual o gráfico da função f(x) = (1/2)^-x

Neste caso a função ficará f(x) = 2^x, então o gráfico ficará como o primeiro, crescente.

Ex 6: Qual o gráfico da função f(x) = 2^x + 2

Quando ocorre uma soma ou subtração na função, devemos saber que o gráfico será deslocado para cima ou para baixo, sendo que o deslocamento será igual ao número somado ou subtraído, como por exemplo nesta questão, que somamos 2, então o gráfico será deslocado 2 números em y para cima. Vamos ver o gráfico de f(x) = 2^x

Agora vamos ver o gráfico deslocado por causa do 2

Agora notamos que o gráfico é o mesmo, mas deslocado 2 valores para cima.

Ex 7: Qual o gráfico de f(x) = 3 . 2^x

Novamente vamos analisar o gráfico de f(x) = 2^x

Agora vamos compreender que quando um valor multiplica ou divide o 2^x, altera a inclinação da curva e a altura dela.

O gráfico em vermelho é da função f(x) = 2^x e o gráfico em vermelho é da função f(x) = 3 . 2^x.

Na comparação podemos verificar que mudou a inclinação e a posição de y quando x = 0.

Ex 8: Vamos comparar o gráfico de f(x) = 2^x, f(x) = 3 . 2^x e f(x) = 2^x + 2

Notamos que no gráfico marrom, ocorreu o deslocamento para cima sem uma mudança brusca na inclinação da reta, então é a função 2^x mais uma soma.

Já na função amarela, notamos que também houve um deslocamento para cima, mas a inclinação mudou bastante, logo temos uma multiplicação.

   Exercícios sobre equações exponenciais

   1.       Cada gráfico abaixo configura uma função exponencial, identifique cada um deles

   2.       Identifique as funções crescentes e as decrescentes.

a)      f(x) = 4^x

b)      f(x) = π^x

c)       f(x) = (√2/2)^x

d)      f(x) = (√3)^x

e)      f(x) = (√3/ 2)^x

f)       f(x) = (0,01)^x

g)      f(x) = (1/5)^x

h)      f(x) = 2^-x

    3.       Resolva as seguintes equações exponenciais com incógnita x

a)      2^x = 64

b)      3 ^{x – 2} = 9

c)       5 ^{x^2 – 2x} = 125

d)      10 ^{1 – x} = 1 / 10

e)      (√2)^x = 4

f)       (0,5)^2x = 2 ^{1 – 3x}

g)      2 ^{4x - x^2} = 8

h)      (10^x)^{1 – x} =0,000001

i)        3 ^{2-  x} = 1 / 27

j)        3 ^{x – 5} = 27 ^{1 – x}

k)      (1/2)^{x^2 – 4} = 8^{x + 2}

l)        ⁵√2^x = 1 / 32

m)    100^{x + 3} = 1 / 10

n)      8^{x – 4} = 4^{x + 1}

o)      9 ^{x – 2} = √27

p)      (1/16)^{x – 2} = 8^x

q)      (0,01)^{x – 1} = 1000

r)       (4^x)^x = 512²

s)       (0,25)^{x – 1} = (1/8)^{1 – x}

t)       25^x/5 = 1

u)      2 . 3^{x – 2} = 162

v)      3 . 5^{x – 1} = 75

w)    5 . 2^{x^2 – 4} = 160

x)      10 . 2^{x + 3} = 10

y)      2^x + 2^{x – 1} = 12

z)       3^{x – 2} + 3^{x + 1} = 84

aa)   7^x + 7^{x – 1} = 8

bb)  4 . 2^x + 2^{x – 1} = 72

cc)    3^2x + 2 . 3^x – 15 = 0

dd)  2^2x – 2 . 2^x – 8 = 0

ee)  3^2x + 3^x = 6

ff)     2^{2x + 1} + 3 . 2^{x + 1} = 8

gg)   4^{x + 2} – 3 . 2^{x + 3} = 160

hh)  3^2x + 2 . 3^x – 15 = 0

ii)       2^{2x + 1} + 3 . 2^{x + 1} = 8

jj)      4^{x + 2} – 3 . 2^{x +3} = 160

kk)   9^x + 3 – 3^x = 0

     4

ll)       3^x – 9 = 8

       3^x

mm)         25^x + 125 = 5^{x + 1}

              6

GABARITO

1 –

a)      f(x) = 2^x

b)      f(x) = (3/2)^x

c)       f(x) = 0,7^x

d)      f(x) = 5^x + 1

e)      f(x) = + 6

a)      6

b)      4

c)       (-1, 3)

d)      2

e)      4

f)       1

g)      (1, 3)

h)      (-2, 3)

i)        5

j)        2

k)      (-2, -1)

l)        -25

m)    (-7/2)

n)      14

o)      11/4

p)      8/7

q)      -1/2

r)       (-3, 3)

s)       1

t)       ½

u)      6

v)      3

w)    (-3, 3)

x)      -3

y)      3

z)       3

aa)   1

bb)  4

cc)    1

dd)  2

ee)  1

ff)     0

gg)   2

hh)  1

ii)       0

jj)      2

kk)   (0, 1)

ll)       2

mm)                    (1, 2)